맨위로가기

단조 정규 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

단조 정규 공간은 위상 공간의 일종으로, 단조 정규성 연산자의 존재 여부로 정의된다. T1 공간에서 단조 정규성은 여러 조건과 동치이며, 유전적 성질을 가지며, 완전 정규 하우스도르프 공간이자 유전적 가산 정규 공간이다. 거리화 가능 공간, 선형 순서 위상 공간, 소르겐프레이 선 등이 단조 정규 공간의 예시이며, 콤팩트 하우스도르프 공간이 콤팩트 선형 순서 공간의 연속적인 상일 필요충분 조건은 단조 정규 공간인 것이다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 위상 공간의 성질 - 점렬 콤팩트 공간
    점렬 콤팩트 공간은 위상 공간에서 모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 공간으로, 가산 개의 곱공간, 닫힌집합, 연속적 상에 대해 점렬 콤팩트성을 유지하며, 거리 공간에서는 콤팩트 공간과 동치이지만 일반적인 위상 공간에서는 그렇지 않을 수 있다.
  • 위상 공간의 성질 - 하우스도르프 공간
    하우스도르프 공간은 서로 다른 두 점을 서로소 열린 근방으로 분리할 수 있는 위상 공간으로, 부분 공간과 곱에 대해서는 닫혀 있으나 몫 공간은 그렇지 않을 수 있으며, 해석학의 많은 공간과 위상군, 위상 다양체에서 중요한 조건을 이룬다.
단조 정규 공간
정의
유형위상 공간
속성정규 공간보다 강함
속성
예시
관련 개념
상위 개념정규 공간

2. 정의

위상 공간 X가 다음의 등가적인 정의 중 하나를 만족하면 '''단조 정규 공간'''이라고 한다.[1][2][3][4]

2. 1. 단조 정규성 연산자

위상 공간 (X,\mathcal T_X)와 X의 부분 집합의 순서쌍들의 집합 \mathcal A\subseteq \mathcal P(X)\times\mathcal P(X)가 주어졌다고 하자. 이때 '''단조 정규성 연산자'''(monotone normality operatoreng) G\colon\mathcal A\to\mathcal T_X는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.

1. 단조성: \mathcal A에 부분 순서 (A,B)\le(A',B')\iff A\subseteq A'\land B\supseteq B'를 주었을 때, G는 단조함수이다. 즉, A\subseteq A'이고 B'\subseteq B일 때마다 G(A,B)\subseteq G(A',B')이다. 이는 G(A,B)가 단조롭게 변동함을 의미한다.

2. 분리성: 모든 (A,B)\in\mathcal A에 대해 A\subseteq G(A,B)\subseteq\operatorname{cl}G(A,B)\subseteq X\setminus B이다. 여기서 \operatorname{cl}G(A,B)는 G(A,B)의 폐포를 의미한다. 이 조건은 함수 G를 통해 공간 X가 정규 공간의 성질과 유사한 분리 성질을 가짐을 보여준다.

만약 단조 정규성 연산자 G가 다음 조건을 추가로 만족시키면, '''자기 서로소 단조 정규성 연산자'''(self-disjoint monotonical normality operatoreng)라고 한다.

  • 모든 (A,B)\in\mathcal A\cap\mathcal A^{-1}에 대해 G(A,B)\cap G(B,A)=\varnothing이다. (\mathcal A^{-1}은 \mathcal A에 있는 순서쌍 (A,B)의 순서를 바꾼 (B,A)들의 집합이다.)


만약 단조 정규성 연산자 G\colon\mathcal A\to\mathcal T_X가 주어지고 \mathcal A=\mathcal A^{-1}이라면, 새로운 함수 H(E,F)=G(E,F)\setminus\operatorname{cl}G(F,E)는 자기 서로소 단조 정규성 연산자가 된다. 즉, 기존의 단조 정규성 연산자를 이용하여 항상 자기 서로소 조건을 만족하는 연산자를 만들 수 있다.

단조 정규성을 논의할 때 자주 사용되는 특정 집합족들은 다음과 같다.

  • \mathcal S_X=\{(A,B)\in\mathcal P(X)\times\mathcal P(X)^{\operatorname{op}}\colon A\cap\operatorname{cl}B=\operatorname{cl}A\cap B=\varnothing\}: 서로 분리된 집합 A, B의 순서쌍들의 집합.
  • \mathcal D_X=\{(E,F)\in\operatorname{Clsd}(X)\times\operatorname{Clsd}(X)^{\operatorname{op}}\colon E\cap F=\varnothing\}: 서로소인 닫힌 집합 E, F의 순서쌍들의 집합.
  • \mathcal N_X=\{(x,F)\in X\times\operatorname{Clsd}(X)^{\operatorname{op}}\colon x\in X\setminus F\}: 점 x와 그 점을 포함하지 않는 닫힌 집합 F의 순서쌍들의 집합.


이 집합들 사이에는 항상 \mathcal D_X\subseteq\mathcal S_X 관계가 성립한다. 만약 X가 T1 공간이라면 \mathcal N_X\subseteq\mathcal D_X 관계도 성립한다.

위상 공간 (X,\mathcal T_X)가 단조 정규성 연산자 \mathcal D_X\to\mathcal T_X를 가지면, 이를 '''단조 정규 공간'''이라고 정의한다.

T1 공간 (X,\mathcal T_X)에 대해서는 다음 세 조건이 서로 동치이다.[11]

1. 단조 정규성 연산자 \mathcal S_X\to\mathcal T_X가 존재한다.

2. 단조 정규성 연산자 \mathcal D_X\to\mathcal T_X가 존재한다. (즉, X가 단조 정규 공간이다.)

3. 자기 서로소 단조 정규성 연산자 \mathcal N_X\to\mathcal T_X가 존재한다.

2. 2. 동치 조건 (T1 공간)

위상 공간 X가 T1이라고 가정할 때, X가 단조 정규 공간이 되는 것은 다음 조건들과 동치이다.[1][2][3][4]

# 서로소인 닫힌 집합의 순서쌍 (A,B) 각각에 대해, 다음 두 조건을 만족하는 열린 집합 G(A,B)를 할당하는 함수 G가 존재한다.

#: (i) A \subseteq G(A,B) \subseteq \overline{G(A,B)} \subseteq X \setminus B (여기서 \overline{G(A,B)}는 G(A,B)의 폐포이다.)

#: (ii) A \subseteq A'이고 B' \subseteq B이면, G(A,B) \subseteq G(A',B')이다.

#:: 조건 (i)은 함수 G를 통해 X가 정규 공간임을 보여준다. 조건 (ii)는 G(A,B)가 단조적으로 변함을 의미하며, 이 때문에 '단조 정규'라는 이름이 붙었다. 이러한 함수 G를 단조 정규성 연산자라고 부른다.

#:: 또한, G(A,B) \cap G(B,A) = \emptyset이 되도록 G를 항상 선택할 수 있다. (원래의 G(A,B)를 G(A,B) \setminus \overline{G(B,A)}로 대체하면 된다.)

# 분리된 집합의 순서쌍 (A,B) (즉, A \cap \overline{B} = \emptyset이고 B \cap \overline{A} = \emptyset인 집합) 각각에 대해, 위 정의 1의 조건 (i)과 (ii)를 만족하는 열린 집합 G(A,B)를 할당하는 함수 G가 존재한다.

# 열린 집합 U와 그 안의 점 x \in U로 이루어진 모든 쌍 (x,U)에 대해, 다음 두 조건을 만족하는 열린 집합 \mu(x,U)를 할당하는 함수 \mu가 존재한다.

#: (i) x \in \mu(x,U)

#: (ii) 만약 \mu(x,U) \cap \mu(y,V) \ne \emptyset이면, x \in V 또는 y \in U이다.

#:: 이러한 함수 \mu는 자동으로 x \in \mu(x,U) \subseteq \overline{\mu(x,U)} \subseteq U를 만족한다.[5]

# X의 기저 \mathcal{B}가 주어졌을 때, U \in \mathcal{B}이고 x \in U인 각 쌍 (x,U)에 대해, 위 정의 3의 조건 (i)과 (ii)를 만족하는 열린 집합 \mu(x,U)를 할당하는 함수 \mu가 존재한다.

# 열린 집합 U와 x \in U인 각 쌍 (x,U)에 대해, 다음 세 조건을 만족하는 열린 집합 \mu(x,U)를 할당하는 함수 \mu가 존재한다.

#: (i) x \in \mu(x,U)

#: (ii) 만약 U, V가 열린 집합이고 x \in U \subseteq V이면, \mu(x,U) \subseteq \mu(x,V)이다.

#: (iii) 만약 x, y가 서로 다른 점이면, \mu(x, X \setminus \{y\}) \cap \mu(y, X \setminus \{x\}) = \emptyset이다.

#:: 이러한 함수 \mu는 자동으로 위 정의 3의 모든 조건을 만족한다.

3. 성질

(내용 없음)

3. 1. 함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

거리화 가능 공간→단조 정규 하우스도르프 공간→완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간→집합족적 정규 하우스도르프 공간
↘↓↓
완전 정규 하우스도르프 공간 (T6)→완비 정규 하우스도르프 공간 (T5)→정규 하우스도르프 공간 (T4)

3. 2. 연산에 대한 닫힘

단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 즉, 단조 정규성은 유전적 성질이다. 반대로, 어떤 위상 공간 X가 단조 정규 하우스도르프 닫힌집합들로 구성된 국소 유한 덮개를 갖는다면, 그 공간 X는 단조 정규 하우스도르프 공간이 된다.

단조 정규 하우스도르프 공간 X에서 다른 위상 공간 Y로 가는 닫힌 연속 함수 f\colon X\to Y가 있을 때, 그 함수의 상 f(X) 역시 단조 정규 하우스도르프 공간이다.[11]

또한, 두 개의 단조 정규 하우스도르프 공간 X, Y와 X의 닫힌집합인 부분 공간 Z, 그리고 Z에서 Y로 가는 연속 함수 f\colon Z\to Y가 주어졌을 때, 이들을 이용해 만든 붙임 공간 X\cup_fY 역시 단조 정규 하우스도르프 공간이다.[12]

4. 예시


  • 모든 거리화 가능 공간은 단조 정규 공간이다.[4]
  • 모든 선형 순서 위상 공간 (LOTS)은 단조 정규 공간이다.[6][4] 이는 선택 공리를 가정하며, 선택 공리가 없으면 정규 공간조차 아닌 LOTS의 예가 있다.[7]
  • 소르겐프레이 선은 단조 정규 공간이다.[4] 이는 위상에 대한 기저로 `[a,b)` 형태의 모든 구간을 취하고, `x ∈ [a,b)`에 대해 `μ(x,[a,b))=[x,b)`로 둠으로써 정의 4에서 따른다. 또는 소르겐프레이 선은 이중 화살표 공간이라는 LOTS의 부분 공간으로 포함될 수 있기 때문에 단조 정규 공간이다.
  • 모든 일반화 거리는 단조 정규 공간이다.

참조

[1] 논문 Monotonically Normal Spaces https://www.ams.org/[...] 1973-04
[2] 논문 A Study of Monotonically Normal Spaces https://www.ams.org/[...] 1973-03
[3] 논문 Mary Ellen Rudin and monotone normality https://www.scienced[...] 2015
[4] 웹사이트 monotone normality, linear orders and the Sorgenfrey line http://at.yorku.ca/b[...]
[5] 논문 Monotone normality and neighborhood assignments https://www.scienced[...] 2012
[6] 문서 Heath, Lutzer, Zenor, Theorem 5.3
[7] 논문 Horrors of Topology Without AC: A Nonnormal Orderable Space https://www.ams.org/[...] 1985-09
[8] 문서 Heath, Lutzer, Zenor, Theorem 3.1
[9] 문서 Heath, Lutzer, Zenor, Theorem 2.6
[10] 논문 Nikiel's conjecture https://www.scienced[...] 2001
[11] 논문
[12] 논문


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com